Andrew Wiles et l'indémontrable théorème de Fermat

Publié par Claire Adélaïde Montiel, le 20 août 2020   440

Xl 20 ans septembre 1994 andrew wiles triomphe dernier theoreme fermat

Eté 1993. Le 23 juin, suite à la série de trois conférences données à Cambridge par le mathématicien anglais Andrew Wiles, les journaux du monde entier s’emballent. La conjecture de Fermat improprement nommée Le dernier théorème car elle est la dernière énigme laissée par le mathématicien à n’avoir été ni prouvée ni invalidée par le monde mathématique, quitte la sphère des publications scientifiques pour faire la une de la presse destinée au grand public. Des dizaines de journalistes de toutes les nationalités saluent cette extraordinaire nouvelle que personne n’attendait plus : après plus de 350 ans, la célèbre conjecture jusque-là réputée indémontrable devient enfin un théorème.

L’évènement fait les titres de la presse internationale. Dès le 24 juin, le New York times titre en une: Enfin le cri Eureka ! dans une énigme séculaire des maths, et le Monde : Le théorème de Fermat enfin résolu. Dans l’édition du 25 juin, SudOuest traite la conjecture de Joconde des maths. Le 1° juillet l’Observateur use d’une image sportive, célébrant La conquête d’un Everest mathématique tandis que Tangente puise dans le vocabulaire de l’Histoire avec Trois siècles et demi de résistance.  

Désormais Pierre Fermat n’est plus la seule vedette de ce feuilleton tricentenaire. Un mathématicien britannique de 40 ans spécialiste de la théorie des nombres, professeur à l’université de Princeton, partage sa célébrité. Le grand jeune homme réservé parle en termes touchants de sa passion pour cette énigme découverte dans l’enfance dont il a fini par venir à bout après de nombreuses années de recherche obstinée. Puis, coup de tonnerre dans ce ciel serein, on annonce l’invalidation de sa démonstration. Quand la science se trompe, titre en Janvier 1994 le magazine ça m’intéresse se faisant l’écho du désenchantement qui a gagné le monde médiatique.

Il faudra attendre octobre 1994 pour qu’après de longs mois, Andrew Wiles, avec le concours de son étudiant, le mathématicien Richard Taylor, valide enfin sa démonstration. Désormais, on ne parlera plus de conjecture de Fermat mais de théorème de Fermat-Wiles.

 

Qu’est-ce qu’une conjecture ?

Une conjecture, c est « un énoncé mathématique dont [les chercheurs] ne savent s’il est vrai ou faux; ils sont amenés à en proposer régulièrement dans leurs recherches lorsqu’ils sont intimement convaincus de la véracité de l’énoncé… Et une conjecture reste une conjecture tant qu’on ne l’a pas démontrée »[1]

Les mathématiciens connaissent bien le terme. « Enoncer publiquement une conjecture est un acte majeur par lequel un mathématicien s’engage et décide de mettre une question sur le devant de la scène pour encourager ses collègues à y réféchir »[2]  

« Dans le massif montagneux des mathématiques, les conjectures sont des sommets à atteindre, mais, pour y parvenir il faut se frayer un chemin et acquérir la connaissance la plus fine de tout ce qui se trouve sur la route. » [3]

 

Maudite marge !

Remarquons cependant que la fameuse conjecture, terme qui n’était pas en usage au temps de Fermat, n’a pas fait partie des défis que celui-ci lançait en direction des savants de l’Europe auxquels ils ne se faisait pas faute, - c’était une pratique courante à son époque -  de soumettre des problèmes épineux. C’est bien d’un théorème dont il fait état sous forme d’une annotation dans la marge de son Arithmétique de Diophante[4].

L’ouvrage comportait plus de cent problèmes que le mathématicien grec (IIè siècle ap. J-C.) proposait à la sagacité de ses lecteurs. Le Problème N°8 consacré aux solutions en nombres entiers de l’équation de Pythagore x2+y2=z2, attira l’attention de Fermat. Celui-ci inscrivit dans la marge, en latin, une annotation[5] qui, sous sa forme actuelle, exprime que l’équation indéterminée xn+yn=zn n’admet aucune solution en nombres entiers x, y, z non nuls si n est supérieur à 2 »

Puis il conclut de sa plus belle plume : « et j’en ai trouvé une démonstration merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir ».

« Maudite marge ! » tempête la journaliste Catherine Portevin dans l’article 356 ans de réflexion paru dans Télérama en date d’août 1993.

 

L’épopée de la conjecture

Fermat a-t-il démontré la conjecture ? On pourrait en douter au vu des notions mathématiques datant des XIXe et XXe siècles auxquelles Andrew Wiles a fait appel pour mettre en place sa démonstration, notions auxquelles, bien évidemment Pierre Fermat n’avait pas accès.

De nombreuses tentatives de résolution du fameux « théorème » ont fleuri, pendant trois siècles et demi, dans les écrits des mathématiciens les plus éminents sans fournir autre chose que des démonstrations partielles. Fermat lui-même n’a laissé des notes que pour n=3 et n=4. On n’a découvert nulle trace d’une démonstration générale.

On ne peut pas pour autant, accuser notre mathématicien de duplicité puisque cette annotation n’était destinée qu’à lui-même. D’autre part, on a bien vu qu’en juin 1993, Andrew Wiles était, lui aussi, sincèrement persuadé avoir trouvé la démonstration. D’autres éléments de la biographie de Fermat nous autorisent à croire en sa bonne foi. Tout d’abord, on remarque que dans ses courriers, il n’hésitait pas à avouer n’avoir pas trouvé la solution de tel ou tel problème qu’il soumettait à ses correspondants. D’autre part, l’analyse de ses écrits permet d’appréhender sa manière de concevoir les mathématiques. De façon générale, « son projet n’est pas de donner des solutions particulières à quelques problèmes, ni d’accumuler des résultats épars… Il est à la recherche de propriétés générales des entiers et c’est en cela que Fermat devance ses contemporains… »[6] 

On peut donc imaginer que sa remarque marginale, fût-elle erronée, correspond à sa certitude d’avoir trouvé une solution générale, ce que, en l’état de nos connaissances, rien ne nous autorise à valider.

 

Heureuse marge ![7]

L’énigme laissée en suspens a fait l’effet d’un formidable catalyseur pour le monde mathématique. « Certaines conjectures résistent ainsi des siècles aux tentatives conjuguées des génies successifs. La recherche des solutions devient un incroyable effort collectif s’apparentant à un relais à travers les siècles. Un seul mathématicien parcourt le « dernier mètre » mais avec le témoin transmis par ses prédécesseurs. [8]»

C’est bien ce qui s’est produit avec le dernier théorème de Fermat qui, prenant « sa source dans les mathématiques de la Grèce antique… fait le lien entre les fondements des mathématiques établies par Pythagore et les concepts les plus avancés des mathématiques modernes »[9]

« Les méthodes d’arithmétiques modulaires élaborées par Wiles pour démontrer son résultat se sont révélées très fécondes dans le cadre du programme de Langlands »[10] qui s’efforce de relier des secteurs mathématiques jusqu’alors disjoints.

De sorte que l’indémontrable théorème enfin démontré par Wiles-Taylor s’est avéré ouvrir de nouveaux horizons pour la mathématique contemporaine.

Heureuse marge !

Andrew Wiles devant la statue de Pierre Fermat en compagnie de ses collègues mathématiciens toulousains lors de sa venue en France pour recevoir le  prix Fermat"
[1] J.B. HIRIART-URRUTY, professeur de mathématiques à l’université de Toulouse créateur du Prix Fermat, prix internatinal de mathématiques dans : A-ton résolu la conjecture de M. de Fermat.     « La dépêche du Midi ».1° août 1993
[2] CNRS Le Journal  N° 299, p33
[3] Emmanuel Royer, directeur adjoint scientifique à l’Institut National des Sciences mathématiques du CNRS, cité dans le Journal du CNRS N° 299 p33
[4] DIOPHANTI AlexandriNi arithmeticorum libri sex édition greco-latine  par Bachet de Méziriac 1621. Samuel Fermat fera à son tour éditer cet ouvrage en 1670.  livre enrichi des 48 « observations » de Pierre Fermat
[5] « Il est impossible de partager soit  un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit généralement une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances du même nom»
[6] Maryvonne Spiesser professeur de mathématiques à l’université de Toulouse : Pierre de Fermat « le premier homme du monde » IREM de Toulouse 
[7] Catherine Portevin : 356 ans de réflexion dans Télérama  août 1993
[8] CNRS Le Journal  N° 299, p34
[9] Simon Singh : le dernier théorème de Fermat Editions JC Lattès
[10] Laurent Clozel, mathématicien français, Ecole Normale Supérieure